În matematică, termenul „invers proporțional” se referă la o relație între două variabile în care, pe măsură ce una dintre variabile crește, cealaltă scade într-o manieră specifică, astfel încât produsul lor rămâne constant. Această relație este cunoscută și sub numele de proporție inversă și este esențială în multe domenii ale matematicii, fizicii și economiei.
Definiția matematică a relației de proporționalitate inversă
Două variabile x și y sunt invers proporționale dacă există o constantă k astfel încât produsul dintre ele este întotdeauna egal cu acea constantă. Aceasta poate fi exprimată prin formula:
x⋅y=kx \cdot y = kx⋅y=k
sau, echivalent:
y=kxy = \frac{k}{x}y=xk
unde k este constantă. Dacă x crește, y va scădea, iar dacă x scade, y va crește, astfel încât produsul x \cdot y rămâne același (constant).
Exemple de proporționalitate inversă
- Exemplu de viteză și timp
Un exemplu clasic de relație invers proporțională este cel dintre viteză și timp, atunci când distanța parcursă este constantă. Dacă distanța este fixă și viteza unei mașini crește, timpul necesar pentru a parcurge acea distanță va scădea proporțional.
De exemplu:
- Dacă o mașină parcurge 100 km și merge cu 50 km/h, timpul necesar este:
t=10050=2 oret = \frac{100}{50} = 2 \text{ ore}t=50100=2 ore
- Dacă mașina accelerează la 100 km/h, timpul necesar pentru a parcurge aceeași distanță va scădea la:
t=100100=1 ora˘t = \frac{100}{100} = 1 \text{ oră}t=100100=1 ora˘
Aici, viteză și timp sunt invers proporționale: pe măsură ce viteza crește, timpul scade, menținându-se constantă distanța.
- Exemplu de presiune și volum (Legea lui Boyle)
Un alt exemplu faimos de proporționalitate inversă este Legea lui Boyle din fizică, care afirmă că, la temperatură constantă, presiunea unui gaz este invers proporțională cu volumul său. Cu alte cuvinte, dacă volumul unui gaz scade, presiunea acestuia va crește, iar dacă volumul crește, presiunea va scădea, atâta timp cât temperatura rămâne constantă.
Formula pentru această lege este:
P⋅V=kP \cdot V = kP⋅V=k
unde:
- P este presiunea,
- V este volumul,
- k este o constantă pentru un anumit gaz la o temperatură constantă.
De exemplu:
- Dacă un gaz are un volum de 10 litri și o presiune de 2 atmosfere, produsul lor este:
P⋅V=2⋅10=20P \cdot V = 2 \cdot 10 = 20P⋅V=2⋅10=20
- Dacă volumul este redus la 5 litri, presiunea va crește la:
P=205=4 atmosfereP = \frac{20}{5} = 4 \text{ atmosfere}P=520=4 atmosfere
- Exemplu de curent electric și rezistență (Legea lui Ohm)
În anumite condiții, curentul electric și rezistența sunt invers proporționale, conform legii lui Ohm, când tensiunea este constantă. Legea lui Ohm afirmă că curentul electric este invers proporțional cu rezistența unui conductor pentru o tensiune constantă.
Formula este:
I=VRI = \frac{V}{R}I=RV
unde:
- I este curentul electric,
- V este tensiunea,
- R este rezistența.
Dacă tensiunea rămâne constantă, atunci, pe măsură ce rezistența unui circuit crește, curentul scade proporțional, și invers, dacă rezistența scade, curentul crește.
- Exemplu de producție și costuri
În economie, relația dintre costul unitar al unui produs și cantitatea produsă poate fi invers proporțională într-un anumit interval de producție. De exemplu, dacă o companie produce mai multe unități dintr-un produs, costul unitar al fiecărei unități se poate reduce datorită economiilor de scară (costuri mai mici pe unitate).
Exemplu:
- Dacă o companie produce 1000 de unități și costul unitar este 10 lei pe unitate, iar dacă ajunge să producă 5000 de unități, costul unitar poate scădea la 5 lei pe unitate.
În acest caz, costul unitar și cantitatea produsă sunt invers proporționale, adică pe măsură ce cantitatea crește, costul unitar scade.
Caracteristici ale relației invers proporționale
- Graficul unei relații invers proporționale este o curbă de tip hiperbolic, care scade din partea stângă sus spre dreapta jos. Aceasta arată că, pe măsură ce una dintre variabile crește, cealaltă scade.
- Constantă de proporționalitate: Într-o relație invers proporțională, produsul dintre cele două variabile este întotdeauna constant, adică x * y = k, unde k este o constantă.
- Unități: În funcție de context, unitățile variabilelor în relație invers proporțională trebuie să fie compatibile pentru ca produsul să fie constant. De exemplu, în cazul presiunii și volumului unui gaz, unitățile de presiune și volum trebuie să fie adecvate pentru a aplica corect legea proporționalității inverse.
Concluzie
Conceptul de proporționalitate inversă este esențial în matematică și în multe domenii ale științei. Atunci când două variabile sunt invers proporționale, aceasta înseamnă că atunci când una crește, cealaltă scade într-o manieră precisă, astfel încât produsul lor rămâne constant. Exemplele din viața cotidiană, cum ar fi viteza și timpul, presiunea și volumul, sau curentul și rezistența, ilustrează această relație importantă care ajută la înțelegerea și modelarea multor fenomene fizice și economice.
Inspirație: MediaOpt
